Dentro de la carpeta osu! hay unos archivos .db llamados "scores" y "osu!, los cuales contienen todas tus puntuaciones y sus repeticiones, si quieres instalar desde cero el juego y quieres agregar esto por separado, sólo basta con que copies este archivo y lo pases a la computadora nueva.
Las replays que guardes mediante la tecla F2 en la pantalla de puntuación también aparecen en una carpeta llamada "Replays", cuando las quieras ver sólo le das doble click y se abren automáticamente.
O el método más fácil es simplemente copiar toda la carpeta del juego entera y transferirla en la computadora nueva.
Para tus próximas preguntas o problemas del juego, por favor usa éste hilo:
community/forums/topics/652268 en lugar de crear uno nuevo.