ナチ（ナチズム）から転じて、「grammar nazi」という使い方では、「nazi」は
「ものごとはどうであるべきか」（の意見）を他人に押し付けようとする人
という意味です。
「grammar nazi」の場合、「文法の誤りに気づいたら訂正したくなって、相手を叱るか、誤りを直そうとするか、文句を言うか、ああいうみたいな事を必ずする人」のことです。
驚くことに、言葉の由来は「Nazi（ナチ）」なのに、必ずしも侮辱の言葉だとは限りません。
例えば、「I need someone to proofread this essay for me. Are there any grammar nazis around?」はありえます。
でも、みちろんこの使い方には慣れていない、「nazi」と呼ばれたら怒る人もいますので、気をつけることです。
Wikipedia:
Phrases such as grammar Nazi, feminazi, and parking enforcement Nazi, are sometimes used in the United States, Europe and Latin America. These uses are offensive to some, as indicated by the controversy in the mainstream media over the Seinfeld “Soup Nazi” episode.
日本語が下手ですみません^^;
（誰か訂正してもらえませんか？）
